Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат

Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике

Реферат по дисциплине: «Теория вероятности и математическая статистика»

Выполнил: Апаз С.В. группа ЭП – 21

Крымский Экономический Институт Киевского Государственного Экономического Института

Симферополь — 2002

Точечное оценивание

Как и понятно, подборка х1, х2, х3,…,хn является реализацией случай-ного вектора (Х1; Х Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат2;… Хn). Это означает, что любая числовая черта подборки есть реализация случайной величины, которая от подборки к выборке может принимать разные значения и, как следует, сама является случайной. Такую случайную величину именуют выборочной функцией либо статистикой и обозначают ã=ã. Эта запись выражает зависимость выборочной функции от случайных компонент Хi, i= , вектора Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат (Х1; Х2;… Хn). К примеру, выборочными функциями являются среднее арифметическое , статистическая дисперсия , мода , медиана

Потому что выборочная статистика величина случайная, то она имеет закон расрпделения, зависящий от закона распадения случайной величины Х в генеральной совокупы.

Пусть требуется подобрать рассредотачивание для исследуемой случайной величины Х по выборке х1, х2, х3,…,хn Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат, извлеченной из генеральной совокупы с неведомой функцией рассредотачивания F(х). Выбрав рассредотачивание (обычное, биноминальное, показательное либо др.), исходя из анализа подборки (к примеру, по вид гистограммы либо по виду полигона относительных частот), мы по данным подборки должны оценить характеристики соответственного рассредотачивания. К примеру, для обычного распре-деления необходимо Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат оценить характеристики m и ; для рассредотачивания Пуасона – параметр l и т.д.

Решение вопросов о "лучшей оценке" неведомого параметра и составляет теорию статистического оценивания.

Выборочная числовая черта, используемая для получения оценки неведомого параметра генеральной совокупы, именуется точечной оценкой.

К примеру, Х – среднее арифметическое, может служить оценкой математического ожидания М Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат (Х) генеральной совокупы . В принципе для неведомого параметра а может существовать много число-вых черт подборки, которые полностью подходяще для того, чтоб служить оценками. К примеру, среднее арифметическое, медиана, мода могут показаться полностью применимыми для оценивания математического ожидания М (Х) совокупы. Чтоб решить, какая из статистик в данном огромном количестве лучшая Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат, нужно найти некие желаемые характеристики таких оценок, т.е. указать условия, которым должны удовлетворять оценки.

Такими критериями являются: несмещенность, эффективности состоятельность.

Если М (ã)=а, то ã именуется несмещенной оценкой а.

В других случаях молвят. Что оценка смещена.

Несмещенность оценки значит, что если использовать эту оценку, то в одних случаях может получиться Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат. Что мы завышаем разыскиваемый параметр совокупы, в других – занижаем. Но в среднем мы будет "попадать в цель".

Так, к примеру, несмещенной оценкой для математического ожидания М(Х)=а случайной величины Х является средняя арифметическая = ã.

Вправду,

,

потому что результаты подборки х1, х2, х3,…,хn рассматривают как n Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат независящих случайных величин Х1, Х2, Х3,…,Хn, любая из которых распределена по тому же закону, что и случайная величина Х.

Ели существует больше одной несмещенной оценки, то выбирают более эффективную оценку, т.е. ту, для которой величина второго момента М (ã – а)2 меньше.

Оценка ã1 именуется более действенной, чем оценка ã2, если

М (ã1 – а)2< М Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат (ã2 – а)2.

Ели обозначить через b= М(ã) – а смещение оценки, то

М(ã – а)2=D(ã)+b2, потому что М(ã - М(ã)+ М(ã) – а)2= М((ã - М(ã))+ +М(ã) – а))2= М((ã - М(ã))+b)2= Мã - М(ã))2+2b´M(ã - М(ã)) + M(b2) = =D(ã)+b2 (M(ã - М(ã))=0, M(b2)=b2). Потому более действенной оценкой Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат будем считать ту несмещенную оценку, которая имеет наименьшую дисперсию.

А именно, средняя арифметическая = ã является более действенной оценкой математического ожидания М(Х)= а, потому что

Все другие оценки М(Х) будут владеть большенными дисперсиями. К примеру,

Наименьшую величину среднеквадратической погрешности оценивают, используя неравенство Рао-Крамера

,где b(a) – смещение оценки; n – объем подборки Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат; функция носит заглавие инфы Фишера. Неважно какая несмещенная оценка, а, для которой b(a)º0 удовлетворяет неравенству

Таким макаром, меньшее вероятное знамени среднеквадратических отклонений отлично от нуля и определяется правыми частями приведенных выше неравенств. При использовании той либо другой оценки лучше, чтоб точность оценивания возросла с возрастанием объема производимой Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат подборки. Предельная точность будет достигнута в этом случае, когда численное значение оценки совпадает со значением параметра при неограниченном увеличении объема подборки. Такие оценки будет называться безбедными.

Оценка ã именуется безбедной оценкой а, если при n®¥ она сходится по вероятности к а, другими словами если .

К примеру, средняя арифметическая = ã является безбедной Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат оценкой математического ожидания М(Х)= а совокупы, потому что, согласно закону огромных чисел,

В конце концов, при построении оценки ã должна употребляться вся инфы, содержащаяся в выборке, о неведомом параметре а, другими словами оценка должна быть достаточной. Если ã – достаточная оценка. То никакая друга оценка не может дать о неведомом Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат параметре а дополнительных сведений.

При выборе оценок следует принимать во внимание перечисленные собственный характеристики и учесть относительную простоту вычислений. Часто выбирается не действенная оценка только поэтому, что ее вычисление намного проще, чем вычисление действенной оценки. К примеру, при контроле свойства продукции мерой разброса совокупы нередко служит выборочный Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат размах, применяемой заместо более сложной и поболее действенной оценки – выборочного стандартного отличия. Отметим, что при оценивании на базе малого числа наблюдений различие в эффективности оценок невелико.

Интервальное оценивание

Мы разглядели оценки неведомых характеристик закона рассредотачивания случайной величины Х по данным подборки. Получаемые при всем этом точечные оценки ãi не совпадают (за исключение Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат редчайших случаев) с настоящим значением неведомых характеристик аi. Как следует, всегда имеется некая погрешность при подмене неведомого параметра его оценкой, т.е. |ã – а|

(1.1)

И если эта возможность близка к единице, т.е. если ,то спектр фактически вероятных значений ошибки, возникающей при подмене а на, равен ±d. При Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат этом огромные про абсолютной величине ошибки возникают с вероятностью e, e>0.

Чем меньше для данного e>0 будет d>0, тем поточнее оценка ã. Из соотношения (1.1) видно, что возможность тог, что интервал ] ã - d; ã+d [ со случайными концами накроет неведомый параметр, равна 1 - e. Эта возможность именуется доверительной вероятностью.

Случайный интервал, определяемый плодами наблюдений, который Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат с данной вероятностью а = 1 - e накрывает неведомый параметр а, именуемый доверительным интервалом для параметра а, подходящим доверительной вероятности а = 1 - e.

Граничные точки доверительного интервала именуются соответственно нижним и верхним доверительным пределами.

Данному а = 1 - e соответствует неединственный доверительный интервал. Доверительные интервалы могут изменяться от подборки к выборке Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат. Более тог, для данной подборки разные способы построения доверительных интервалов могут привести к разным интервалам. Потому выработаны определенные правила. Используя их и действенные оценки неведомых характеристик, получают кратчайшие интервалы для данной доверительной вероятности а = 1 - e.

Разглядим общие принципы построения доверительных интервалов. Представим, что доверительный интервал находим для некого параметра а совокупы и Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат в качестве точечной оценки этого параметра возьмем выборочную несмещенную М(ã) = а и эффективную оценку ã = ã(Х1; Х2;… Хn), имеющую среднее квадратическое отклонение sã.

Если б закон рассредотачивания оценки ã был известен, то для нахождения доверительного интервала необходимо было бы отыскать такое значение d, для которого . Но закон рассредотачивания оценки ã находится в Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат зависимости от закона рассредотачивания случайной величины Х и, как следует, от его неведомого параметра а. Для того чтоб не использовать закон рассредотачивания случайной величины Х, поступают последующим образом.

Потому что мы считаем значение подборки х1, х2, х3,…,хn, имеющими те же законы рассредотачивания, что и исследуемая случайная величина Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат Х, то, согласно центральной предельной аксиоме (теоретическое выборочное рассредотачивание средних при большенном n может быт отлично аппроксимировано подходящим обычным рассредотачиванием параметрами М( ) = М( ) и , большая часть числовых черт подборки имеют обычное либо близкое значение к нормальному выборочное рассредотачивание.

Потому при помощи вероятностей, которые находим из таблиц обычного рассредотачивания , где , для Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат данного d можно отыскать такое интервал ] ã - d; ã+d [, в каком лежит значение ã, вычисленное по данной выборке можно решить и оборотную задачку: по данной вероятности отыскать значение d

, такое что .

Неравенства а - d≤ ã ≤а + d эквивалентны неравенствам ã - d≤ а ≤ ã + d (вычтем ã - d из каждой части и умножим на –1). Тем указаны Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат способы построения доверительных интервалов ] ã - d; ã + d [ для параметра а.

Таким макаром, при построении доверительных интервалов составляется случайная величина Y (к примеру, , связанная с неведомым параметром а, его оценкой и имеющая известную плотность рассредотачивания вероятностей p(y). Используя эту плотность, определим доверительный интервал по формуле .

В качестве доверительно вероятности (по другому Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат – уровня доверия) обычно считают

а =0,95 (0,99). Это означает, что при извлечении n выборок из одной и той же генеральной совокупы доверительный интервал приблизительно в 95% (99%) случаев будет накрывать неведомый параметр (относительно неведомого параметра возможные действия не допускаются). При увеличении же доверительной вероятности строится более широкий доверительный интервал, который малопригоден Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат для практики. Снова подчеркнем, что чем меньше длина доверительного интервала, тем поточнее оценка.

Отметим, что для четкого нахождения доверительных интервалов следует знать закон рассредотачивания случайной величины Х, тогда как для внедрения приближенных способов это не непременно.

Перечень литературы

Гурский Е.И. «Теория вероятности и математическая статистика».

Хеннекен П Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике - реферат.А. «Теория вероятности»

Барковский В.В. «Теория вероятности и математическая статистика».



primenenie-razlichnih-materialov-dlya-vnutritkanevogo-znd0pr0tezir0vaniya.html
primenenie-rentgenovskogo-izlucheniya-v-medicine.html
primenenie-rispolepta-pri-shizofrenii-doklad.html